もう一人のY君

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もう一人のY君

iPhoneアプリのレビューやアップデートレビューなどを書いています. たまに数学の記事も書きます.

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(数学)空集合上の関数

161003_00

 今回は画像の通り, 空集合から任意の集合への関数についてです.

 

[Contents]
 

 

振り返り

thetheorier.hatenablog.com

thetheorier.hatenablog.com

 関数や空集合については以前のエントリで解説しています.

 簡単にこちらでも書いておきましょう.

 

 

[定義:関数]

 集合 { \displaystyle A, B } の順序対 { \displaystyle \langle a, b\rangle } が次を満たすとき, { \displaystyle f } は { \displaystyle A } から { \displaystyle B } への関数と呼びます.

  1. { \displaystyle f } の元はすべて { \displaystyle \langle a, b\rangle } の形であり, かつ { \displaystyle a\in A }{ \displaystyle b\in B } を満たす
  2. { \displaystyle \langle a, b\rangle\in f } かつ { \displaystyle \langle a, c\rangle\in f } ならば, { \displaystyle a=c }
  3. { \displaystyle A } の任意の元 { \displaystyle a } について, { \displaystyle \langle a, b\rangle\in f } となるような { \displaystyle B } の元 { \displaystyle b } が存在する

 そしてこのとき, { \displaystyle b = f(a) } と書き表します.

 

[定義:空集合]

 空集合とは, 任意の集合の部分集合である集合を言う.

 

 

φ上の関数

 では早速 { \displaystyle \emptyset } 上の関数, つまり上記で言うところの { \displaystyle A=\emptyset } の場合を考えてみます.

 

 まず { \displaystyle a\in\emptyset } なる { \displaystyle a } はありませんから, 関数の定義1における「{ \displaystyle \langle a, b \rangle } という形」は存在しません.

 従って { \displaystyle f:\emptyset\to B } なる関数が存在するならば { \displaystyle f=\emptyset } でなければなりません.

 

 逆に { \displaystyle f=\emptyset } ならば, 任意の集合 { \displaystyle B } を取っても関数の定義1~3を満たすのは明らかです.

 空集合でのエントリで使用した論法により, 「矛盾からは任意の命題が導かれる」ので, { \displaystyle \langle a, b\rangle } という形が無くともそこから { \displaystyle a\in\emptyset,\quad b\in B } は導かれますし, また

{ \displaystyle \langle a,b_1\rangle\in f(=\emptyset) \\ \langle a,b_2\rangle\in f(=\emptyset) }

もまた矛盾命題ですからそこから { \displaystyle b_1 =b_2 } が導かれるのも明らかです.

 同様に3つ目も導かれます.

 

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 逆に { \displaystyle f=\emptyset } ならば, { \displaystyle f } の元は存在しないので矛盾命題より関数の定義1がまず満たされます.

 2, 3 についてもそれぞれ

{ \displaystyle \langle a,b_1\rangle\in f\\ \langle a,b_2\rangle\in f }

が矛盾命題であること, そして

{ \displaystyle a\in\emptyset } なる{ \displaystyle a } が存在しない

ことより, それぞれ

{ \displaystyle b_1 = b_2 }
{ \displaystyle \langle a,b\rangle\in f } となるような { \displaystyle b\in B }

 

 

 従って, { \displaystyle \emptyset\to X } なる関数はただ一つ存在して { \displaystyle \emptyset } ということになります.

 

 

 多くの方が, { \displaystyle \emptyset } 上の関数は存在しないと勘違いされているそうです.

 そもそもイメージのしようがありませんので仕方ないかもしれません.

 

 

マインクラフトpeがv1.0.3にアップデート, キャンディー テクスチャパック追加, Realmsをはじめ複数のバグ修正

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 今回は新しいテクスチャパックとバグ修正のようです.

 

Minecraft: Pocket Edition

Minecraft: Pocket Edition

  • Mojang
  • ゲーム
  • ¥840

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 

アップデート情報

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170210_02

 アップデート後の初期起動時にアップデート内容が表示されています.

 

  • キャンディー テクスチャパック追加
  • オランダ語のサポート
  • フレンドでないRealmsメンバーが表示されない不具合を修正
  • プレイヤーが退出した際にRealmsがクラッシュする問題を修正
  • プレイヤーが突然変異したバイオームに侵入した際にサーバーがクラッシュする問題を修正
  • 一部のレッドストーン アイテムによってゲームが進行不可能になる問題を修正
  • モバイル デバイス上でテクスチャが乱れる原因となっていた複数のバグを修正

 

 

 URLスキームに変更はありませんでした.

 

 

URLスキームについてはこちら

[Search]iPhone URLスキーム -The theoryの戯言

iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

 

指定した時間までをカウントダウン「TargetTime」

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 知りたい時間までの残り時間をカウントダウンしてくれます, ウィジェットにも対応.

 

TargetTime

TargetTime

  • firma12
  • ユーティリティ
  • ¥120

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 レビュー時のバージョン : v1.0

 

 

指定した時間までの残り時間をカウントダウン

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 アプリを開くと時間を設定するドラムロールが2つ並んでいるので, 好きな時間を指定し, "start" をタップします.

 

 

170115_08

 これでカウントダウンが始まります.

 ウィジェットの方を開いてみるとこちらでも1秒間隔でちゃんとカウントダウンしてくれています(until表示が隠れてしまってるのはバグと思われます).

 ウィジェットをタップすればアプリが起動します.

 

 

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 時間になった場合, マナーモードであるかどうかは関係なく通知はなされず, ステータスが "until" から "past" となり更にカウントされ続けます.

 

 

 通知音が鳴らないのでリマインダーのような用途には向かないでしょう.

 そのせいか分かりませんが設定アプリ直下の項目にこのアプリは表示されません.

 モバイルデータ通信も使用してないってことですかね(内容からして使う場なんて見当たりませんが).

 

 通知音が鳴らないのを好意的に評価すれば, 仕事場など「通知音を鳴らしたくない・鳴らせない」場所で使えそうです.

 

 URLスキームは

 

f12timer:

 

がありますね.

 

 

URLスキームについてはこちら

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iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

 

サイトがオンラインかどうかをチェックできる「SiteOnline」

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 そのサイトにアクセスせずに, 単純に閲覧できる状態かどうかをチェックできます.

 

SiteOnline

SiteOnline

  • Elvir Berisha
  • 仕事効率化
  • 無料

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 レビュー時のバージョン : v1.0

 

[Contents]
 

 

サイトを登録するだけ

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 最初はまだ何も入ってませんので, 右上の+をタップして追加します.

 

 

161108_34

 サイトのタイトル(自分が分かりやすい名前でOK)とサイトURLを書きこみます.

 URLはhttp://(またはhttps://)を除いた部分をボックスに書きこみます.

 因みにトップページでなくとも大丈夫です.

 http:// と https:// の切り替えはその場所をタップして行います.

 終わったらSaveをタップ.

 

 

161108_35

 これで追加されました.

 対象のページが閲覧可能だと, 画像のように右側にチェックマークのアイコンがつきます.

 

 

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 もしそのページが何らかの原因で閲覧できない場合, 画像のようにチェックマークの代わりに×マークがつきます.

 

 アプリがアクティブの場合20秒毎に対象のページへリクエストを送っているとのことですが, 画面左上のアイコンをタップして手動で更新することもできます.

 

 

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 Twitterのように不意に利用できないことがあるページはチェックすると良さそうです.

 

 URLスキームは今のところ確認できませんでした.

 

 

URLスキームについてはこちら

[Search]iPhone URLスキーム -The theoryの戯言

iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

 

ワークタイマーアプリ「Work Timer」

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 ポドロードタイマーをもうちょっと自由にした感じです.

 

Work Timer - Concentrate on Your Work

Work Timer - Concentrate on Your Work

  • Andrii Ternovyi
  • 仕事効率化
  • 無料

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 レビュー時のバージョン : v1.0

 

 

各時間を決めてスイッチオン

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 アプリを起動すると, 中央に大きな時間表示とその下に

 

  • Break
  • Relax
  • Work

 

の3つのボタンがあります.

 この3種で時間を管理します.

 "Work" と "Break" については画面右上の歯車アイコンをタップして変更ができます.

 "Relax" は10分で固定となっています.

 

 

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 何かを始める場合はこの3つのいづれかをタップします.

 例えば "Work" をタップすれば, 予め設定された時間でカウントダウンが始まります.

 

 

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 カウントダウン中に対象のボタンをタップするとカウントダウンを停止することができます.

 停止する場合は"Stop" を選びます.

 

 

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 時間になるか停止した場合, 単純に時間表示がリセットされ, ボタンが3種とも押せるようになるだけです.

 次のカウントダウンを行う場合は停止・終了後にユーザーの手で他のボタンをタップして続けることになります.

 

 

 時間どおりに従うも良し, 途中で次に以降するも良し…ということである程度自由に出来ています.

 

 URLスキームは

 

fojusi:

 

があるようです.

 

 

URLスキームについてはこちら

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iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

 

【数学】議論している「空間」を明確にする

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 某質問サイトを見ていると, 的外れなやり取りを見かけます(僕もやらかしたりしますが).

 

 

それは「どういう相手」に沿ったやり取りか

 その最たるは例えば

 

  • 0は自然数か
  • 0や負数は倍数, 約数に含めるか

 

といった質問, 議論です.

 

 ある人は「0は自然数じゃない」と言い, また別の人は「いや0は自然数だ」と言います.

 

 結論から言うと「どちらも正しい」ので双方引くことはありません, 「そんな必要ない」ですから.

 

 しかし答えを求めている側からすれば, そして何らかの立場から考えれば答えは一つのはずです, 従ってこのままでは解決しません.

 

 

空間

 物理などのそれとは意味が異なるこの「空間」とは, 対象(数や集合などなど)やそれを用いた演算等々を扱うための, はじまりの集合のことです.

 

 例えばある関数のグラフを考えましょう.

 一般的に関数と言えばほぼ無条件で実数から実数までの関数

 

{ \displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }

 

を意味します

 この場合「空間」は { \displaystyle \mathbb{R} } であることは間違いありません.

 

 しかしこれが例えば対数関数 { \displaystyle \log_a{x} } なら…三角関数 { \displaystyle \sin{x} } ならどうでしょう?

 

 当然 { \displaystyle \mathbb{R}\to\mathbb{R} } として構いませんが, 双方それぞれ

 

{ \displaystyle (0 ,\infty)\to\mathbb{R} \\ \mathbb{R}\to [-1,1] }

 

として議論しても構いません.

 

 このとき, 省略した箇所を想定して議論するのか, 端折ってしまうのか…

 「それを知っている」立場であればそんなこと些細な話ですが, そうでない相手とやり取りする際にそれを断わっておくのとそうでないのでは万が一の時の手間が違います.

 

 

 何かに触れる際, その空間を指定することは当たり前のように思えてしかし重要なことです.

 

 

空間が違うと答えが違うことがある

 「空間を指定せずに」, 2つ例を挙げてみましょう.

 

 

[問題1]

 { \displaystyle x^4-1 } を因数分解せよ.

 ある人は

 

{ \displaystyle (x+1)(x-1)(x^2+1) }

 

を答えとし, また別の人は

 

{ \displaystyle (x+1)(x-1)(x+i)(x-i) }

 

とするでしょう(項の順番はここでは考えません).

 

 そしてどちらも「正しい」です.

 

 間違っているとすれば「どこまで因数分解すべきか」が問題文に欠けているから, 或いは「出題先がどういう立場であるか」です, 中学生向けか, 高校生か, 大学か…等々.

 

 そのいづれかが明確であれば, おのずと一方が正解となるのは明らかです.

 

 

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[問題2]

 { \displaystyle x^2+8x+15 } が素数となるような整数 { \displaystyle x } を求めよ.

 { \displaystyle x^2+8x+15 } は因数分解すると

 

{ \displaystyle (x+3)(x+5) }

 

と, { \displaystyle x+3 }{ \displaystyle x+5 },  2項の積になります.

 これが素数になるには, 一方の項が { \displaystyle 1 }, 或いは { \displaystyle -1 } であることが必要条件です.

 

[{ \displaystyle x+3=1 } のとき]

 このとき { \displaystyle x=-2 } ですから

 

{ \displaystyle (-2+3)(-2+5)  =3 }

 

, これは素数です.

 

[{ \displaystyle x+3=-1 } のとき]

 このとき { \displaystyle x=-4 } ですから

 

{ \displaystyle (-4+3)(-4+5)=-1 }

 

, これは素数ではありません.

 

[{ \displaystyle x+5=1 } のとき]

 このとき { \displaystyle x=-4 } ですから前回の場合と同じです.

 

[{ \displaystyle x+5=-1 } のとき]

 このとき { \displaystyle x=-6 } ですから

 

{ \displaystyle (-6+3)(-6+5)=3 }

 

, これは素数です.

 

 以上より { \displaystyle x=-6, -2 } が答えとなります.

 


 

 さて, ここで当たり前に因数として { \displaystyle -1 } であることを想定しています.

 掛け算の立場で考えれば正整数 { \displaystyle a, b } について { \displaystyle (-a)(-b)=ab } であることは過去に学んだことでしょうが, となると問題になってくるのが「負の倍数, 約数」です.

 

 負の倍数, 約数を否定してしまうと, 今回の問題であれば { \displaystyle x=-6 } の解は得られないわけです.

 

 勿論ここには「約数と因数では立場が違う」などの異論もあるため, 負の倍数, 約数については今もなお議論されています.

 

 

 そもそものこういった問題は, 教育課程上の問題で「既知であるより拡張された体系」を教えることができないこと, そしてそれ以上に「その時点での学びで固定されてしまうこと」です.

 あたかも自然数は必ず1からでないといけないとか, 負数で倍数・約数を扱わないというのは飽くまでも「今学んでいる時点でのこと」であり, 然るべき空間では当然のように受け入れられています.

 

 「今」に従うのはそれはそれで良しとしても, 「それがすべて」であると決め込むのは誤りであり, 勿体ないことです.

 

 極端に言えばそれは三平方の定理を学んで余弦定理に目を向けない, 或いは複素数の世界を知らかった頃の「二次方程式の非実数解の扱い」のようなものです.

 

 より極端に言えば, 学校で学ぶ数学など, それこそ「数学を端折ったもの」に過ぎません.

 つまり「まだ先がある」のです.

 

 だからこそ, 今一体どんな「空間」の下で議論しているのか…が重要になってくるのです.

 そうでなくとも重要ですが.

 

 

URLスキームのサイトを更新しました(2017.02.05版)

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 インフルエンザ流行りまくりですね, 僕はインフルではないですがちょっと風邪気味で起きてる間頭がぼーっとする毎日です.

 

[Search]iPhone URLスキーム -The theoryの戯言

iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

更新情報

 今回追加した数は以下になります.

URLスキームあり 61
URLスキームなし 76
アップデートによる新規追加 1
アップデートによる削除 0

 

 合計はこちら.

URLスキームあり 11,358
URLスキームなし 13,065
総計 24,423

 

 そろそろ「2万5千収録」って書けるくらいになってきました.

 

 

追加, 削除

トライリンク (v1.4.7)

トライリンク 光の女神と七魔獣

トライリンク 光の女神と七魔獣

  • Aiming Inc.
  • ゲーム
  • 無料

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

com.googleusercontent.apps.454568644826-cb30v31p27dk35jaqpcooa89r5nh4id5:

が追加され,

com.aiming.trilink:

が削除されています.

 

 

monoca (v2.0)

monoca

monoca

  • Sola, K.K.
  • ライフスタイル
  • 無料

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 新規でURLスキームに対応し,

monoca:
com.googleusercontent.apps.731336376865-ispj7ijnp8dunk2vscb0i9a3src5qabg:

の2つが追加されました.

 

 

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 昨日Twitterでも呟いたんですが, ページトップに移動するアイコンの隣にURLスキームの確認用フォームを追加しました.

 予め検索したURLスキームをコピーしてからリンクアイコンをタップするとポップアップが出るのでこの中にコピーしたURLスキームをペーストし, OKをタップします.

 

 

170205_02

 正しければアプリが起動します.

 

 

 もちろん予めコピーしなくとも手打ちして別のURLスキームを起動することも可能です.

 コピペした hoge: という形のURLスキームの後ろに // をくっつけて location.href で起動させてるので, パラメータなどには対応していません.

 

 本当はコピーから実行までの手数を減らしたかったんですがクリップボードの扱いがうまく行かなかったので取り敢えずこのままにします.

 PCで使えないのは言うまでもありません(PCでの「キャンセル」の処理もできてないので出来るだけ押さないでください…).

 

 調子が良ければもうちょっとちゃんとやったんですけど…

 

 因みにソースはこう.

 

 でもよくよく考えてみればそんなことSafariなりなんなりのブラウザでやればいい話だったね.

 

 

Pickup

カミオシ!
キノットカラオケ
ディシディアファイナルファンタジー オペラオムニア
ファイアーエムブレム ヒーローズ
マイナビティーンズ
名駅ユニモールのVITA×MIRACLE公式アプリ
ラジオクラウド
Checkly
Find My Bike
Roofbot: Puzzler On The Roof
SHOPLIST

 

 上記などのアプリのURLスキームの検索はこちらからどうぞ.

[Search]iPhone URLスキーム -The theoryの戯言

iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.

 

東京アメッシュをウィジェットでチェック「AmeshEX」

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 東京, その近郊で愛用している方は是非.

 

AmeshEX

AmeshEX

  • KOICHIRO OISHI
  • 天気
  • 無料

※価格は記事執筆時のものです. 現在の価格はApp Storeから確認ください.

 レビュー時のバージョン : v1.0.0

 

ウィジェットからアメッシュを確認

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 ウィジェットから追加するだけで直ぐに確認ができます.

 「表示を減らす」でも上半分くらいは確認できますね.

 

 

170113_02

 アプリを起動すると,

 

 

  • 表示領域の設定
  • 切り替え間隔の設定

 

の2項目を変更できます. 

 

 

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 「表示領域の設定」では

 

 

  • 全域(デフォルト)
  • 東京全域
  • 東京23区

 

の3項目を, 「切り替え間隔の設定では」

 

  • 5分間隔(デフォルト)
  • 10分間隔
  • 15分間隔
  • 20分間隔
  • 30分間隔

 

から選べます.

 

 

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 ウィジェット上では時刻表示の青い箇所をタップすると, アプリの「切り替え間隔の設定」で設定した時間ごとに時間を遡って降雨を確認できます.

 青い箇所以外をタップすると最新の時刻にリセットされます.

 

 

 ウィジェット専用なのでアプリから確認することはできません.

 

 URLスキームは今のところ確認できませんでした.

 

 

URLスキームについてはこちら

[Search]iPhone URLスキーム -The theoryの戯言

iPhoneのURLスキームを検索して一覧表示できます. リクエストは内容に応じてお答えします.