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iPhoneアプリのレビューやアップデートレビューなどを書いています. たまに数学の記事も書きます.

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判別式D/4は無理に覚えなくても良い

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こんにちは、@the_theorierです.

二次関数でお馴染みの判別式がありますね、{ \displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c } ( { \displaystyle a,b,c\in \mathrm{R}, a\neq 0 }) に対して

{ \displaystyle D := b^{2}-4ac }

と定められているものです.


代数的に見ればこれは同二次関数による方程式 { \displaystyle f(x)=0 } の解

{ \displaystyle x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} }

の、平方根の中身のことですね.

{ \displaystyle D } の符号次第で解の個数であったり、或いは実数解かどうか…などを知る指標の一つです.

上の通りで判別式はその値の符号に興味がありますから、つまるところ { \displaystyle D } に任意の正実数をかけても得られる結果は同じなのは明らかです.

これを踏まえると、{ \displaystyle b } が偶数のとき、つまり { \displaystyle b = 2b' } を満たす整数 { \displaystyle b' } が存在するとき、

{ \displaystyle D }
{ \displaystyle = b^{2}-4ac }
{ \displaystyle = (2b')^{2}-4ac }
{ \displaystyle = 4b'^{2}-4ac }
{ \displaystyle = 4(b'^{2}-ac) }

となるため、改めて { \displaystyle D' := b'^{2}-ac } としてこの { \displaystyle D' } を判別式として扱う訳です.

{ \displaystyle D' }{ \displaystyle D }{ \displaystyle \dfrac{1}{4} } 倍したものですから、判別式として問題ないことになります.

そしてこれによる判別式のメリットは、何より計算し易いために計算ミスが多少なりとも減らせる事にあります.

実際問題を解いた方はご存知でしょうが、各項を4倍してから加減するのと、4倍しなくて良いのとは計算の手間もミスのリスクも十分に違いますね.

判別式自体に慣れてない人には逆効果

しかし判別式自体にあまり慣れていない時点で無理に使おうとすると、逆に計算間違いをして混乱する可能性があります.

良くあるのは

{ \displaystyle (\dfrac{b}{2})^2-ac }

とすべき所を

{ \displaystyle (\dfrac{b}{2})^2-4ac }

として計算してしまうミスです.
(上で二乗するの忘れてました…訂正済みです)

計算がしやすくなるという喧伝を真に受けても、自身がそれ自体を理解していなければ却って失点の元となります.

慣れるまでは確実のために普通の判別式を使うべきです.
公式や裏技…と言った甘い言葉に釣られて、問題を、そして概念自身を理解しようとするのを怠けても、良いことはありません.