もう一人のY君

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

もう一人のY君

iPhoneアプリのレビューやアップデートレビューなどを書いています. たまに数学の記事も書きます.

もう一人のY君 MENU

【数表】加法的関数・乗法的関数

数学 数学-数表

スポンサーリンク


161001_00

 今回の数表は加法的関数, そして乗法的関数です.

 

[Contents]
 

 

加法的関数、乗法的関数とは

 これらの言葉は主に数論という分野で使われます.

 特定の性質を持つ関数は議論の対象となりやすいからですね.

 

 

数論的関数、加法的関数、乗法的関数

 その前に数論的関数から説明しましょう.

 

 

[定義:数論的関数]

 集合 { \displaystyle K } から整数 { \displaystyle \mathbb{Z} } への関数

{ \displaystyle K\to\mathbb{Z} }

を, 数論的関数と言う.

 特に複素数から整数への無限数列

{ \displaystyle \mathbb{C}\to\mathbb{Z}\\n\mapsto a_{n} }

を議論することが多い.

 

 このうち, 以下の性質を持つ関数をそれぞれ加法的関数, 乗法的関数と言います.

 

 

[定義:加法的関数]

 数論的関数 { \displaystyle f(x) } が以下を満たすとき, { \displaystyle f(x) } は加法的関数と言う:

 互いに素である任意の整数 { \displaystyle m, n } について

{ \displaystyle f(mn)=f(m)+f(n) }

 

 

[定義:乗法的関数]

 数論的関数 { \displaystyle f(x) } が以下を満たすとき, { \displaystyle f(x) } は乗法的関数と言う:

 互いに素である任意の整数 { \displaystyle m, n } について

{ \displaystyle f(mn)=f(m)f(n) }

 

 これらを満たす数論的関数で更に特徴的であるものは更に議論の対象になりやすいですね.

 

 

加法的関数、乗法的関数の例

 2つの例としては以下があります(今回取り上げるものになります, { \displaystyle n }) は正整数.

 ここで { \displaystyle p, q, r } を相異なる素数, { \displaystyle a, b, c } を非負整数とし, { \displaystyle n=p^a q^b r^c\dots } と素因数分解できるとします.

 

[加法的関数]

  • { \displaystyle \Omega(n) }:ビッグオメガ関数, { \displaystyle n } の素因数の, 重複を含めた総和

 (例) { \displaystyle \Omega(20)=\Omega(2^2\times 5)=2+5=10 }

 { \displaystyle \Omega(n)=a+b+c+\dots } が成り立ちます.

  • { \displaystyle \omega(n) }:オメガ関数, { \displaystyle n } の異なる素因数の総数

 (例){ \displaystyle \omega(20)=\omega(2^2\times 5)=2 }

 { \displaystyle \omega(n)=\#\{ p \mid p|n \} } が成り立ちます.

  • { \displaystyle \text{sopf}(n) }{ \displaystyle n } の異なる素因数の総和

 (例){ \displaystyle \text{sopf}(20)=\text{sopf}(2^2\times 5)=2+5=7 }

  • { \displaystyle \text{sopfr}(n) }{ \displaystyle n } の素因数の, 重複を含めた総和

 (例){ \displaystyle \text{sopfr}(20)=\text{sopfr}(2^2\times 5)= }{ \displaystyle 2+2+5=9 }

 

 

[乗法的関数]

  • { \displaystyle d(n) }{ \displaystyle n } の正約数の個数

 (例){ \displaystyle 20 } の正約数は { \displaystyle 1, 2, 4, 5, 10, 20 } の { \displaystyle 6 } つだから, { \displaystyle d(20)=6 }.

 { \displaystyle d(n)=\#\{ m\in\mathbb{Z}^+ \mid m|n \} } が成り立ちます.

  • { \displaystyle \sigma(n) }{ \displaystyle n } の正約数の総和

 (例){ \displaystyle 20 } の正約数は { \displaystyle 1, 2, 4, 5, 10, 20 } だから, { \displaystyle d(20)=1+2+4+5+10+20=42 }.

 { \displaystyle \sigma(n)=\sum_{m\in\mathbb{Z}^+ , m|n } m } が成り立ちます.

  • { \displaystyle \varphi(n) }:オイラーのφ関数, { \displaystyle 1 }から{ \displaystyle n } までの自然数のうち, { \displaystyle n }と互いに素な数の個数.

 (例){ \displaystyle 20 } までの非負整数のうち, { \displaystyle 20 }と互いに素なのは { \displaystyle 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 } の8個である, よって { \displaystyle \varphi(20)=8 }.

{ \displaystyle \varphi(p^a)=p^a - p^{a-1} } 

, また互いに素な非負整数 { \displaystyle m, n } について

{ \displaystyle \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n) }

が成り立ちます(乗法的関数そのもの).

  • { \displaystyle \mu(n) }:メビウス関数, { \displaystyle n }が平方数で割り切れるとき{ \displaystyle 0 }, それ以外のとき, { \displaystyle n } が異なる { \displaystyle k } 個の素数で素因数分解されるとき, { \displaystyle \mu(n)=(-1)^k }.

 (例){ \displaystyle 20 } は平方数 { \displaystyle 4 } で割り切れるので { \displaystyle \mu(20)=0 }.

 { \displaystyle 22 } は平方数で割り切れず, { \displaystyle 2, 11 } の2つの素因数で構成されるので { \displaystyle \mu(22)=(-1)^2 = 1 }.

  • { \displaystyle \text{rad}(n) }:根基, { \displaystyle n } の異なる素因数の総積.

 (例){ \displaystyle \text{rad}(20)=\text{rad}(2^2\times 5)= 2\times 5=10 }.

 { \displaystyle \text{rad}(n)=a+b+c+\dots } となります.

 

 

 今回はこの9種の数論的関数の数表となります.

 某コミュニティなどでmake10するときなどにお使いください.

 

thetheorier.hatenablog.com

 ピンポイントに調べたい方はこちらをどうぞ.

 

 

加法的関数数表

 

n=1~50

{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
10 
11  11  11 
12 
13  13  13 
14 
15 
16 
17  17  17 
18 
19  19  19 
20 
{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
21  10  10 
22  13  13 
23  23  23 
24 
25  10 
26  15  15 
27 
28  11 
29  29  29 
30  10  10 
31  31  31 
32  10 
33  14  14 
34  19  19 
35  12  12 
36  10 
37  37  37 
38  21  21 
39  16  16 
40  11 
{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
41  41  41 
42  12  12 
43  43  43 
44  13  15 
45  11 
46  25  25 
47  47  47 
48  11 
49  14 
50  12 

 

 

n=50~100

{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
51  20  20 
52  15  17 
53  53  53 
54  11 
55  16  16 
56  13 
57  22  22 
58  31  31 
59  59  59 
60  10  12 
61  61  61 
62  33  33 
63  10  13 
64  12 
65  18  18 
66  16  16 
67  67  67 
68  19  21 
69  26  26 
70  14  14 
{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
71  71  71 
72  12 
73  73  73 
74  39  39 
75  13 
76  21  23 
77  18  18 
78  18  18 
79  79  79 
80  13 
81  12 
82  43  43 
83  83  83 
84  12  14 
85  22  22 
86  45  45 
87  32  32 
88  13  17 
89  89  89 
90  10  13 
{ \displaystyle n } { \displaystyle \Omega } { \displaystyle \omega } { \displaystyle \text{sopf} } { \displaystyle \text{sopfr} } 
91  20  20 
92  25  27 
93  34  34 
94  49  49 
95  24  24 
96  13 
97  97  97 
98  16 
99  14  17 
100  14 

 

 

乗法的関数数表

 

n=1~50

{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
-1 
-1 
-1 
12 
-1 
15 
13 
10  18  10 
11  12  10  -1  11 
12  28 
13  14  12  -1  13 
14  24  14 
15  24  15 
16  31 
17  18  16  -1  17 
18  39 
19  20  18  -1  19 
20  42  10 
{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
21  32  12  21 
22  36  10  22 
23  24  22  -1  23 
24  60 
25  31  20 
26  42  12  26 
27  40  18 
28  56  12  14 
29  30  28  -1  29 
30  72  -1  30 
31  32  30  -1  31 
32  63  16 
33  48  20  33 
34  54  16  34 
35  48  24  35 
36  91  12 
37  38  36  -1  37 
38  60  18  38 
39  56  24  39 
40  90  16  10 
{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
41  42  40  -1  41 
42  96  12  -1  42 
43  44  42  -1  43 
44  84  20  22 
45  78  24  15 
46  72  22  46 
47  48  46  -1  47 
48  10  124  16 
49  57  42 
50  93  20  10 

 

 

n=50~100

{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
51  72  32  51 
52  98  24  26 
53  54  52  -1  53 
54  120  18 
55  72  40  55 
56  120  24  14 
57  80  36  57 
58  90  28  58 
59  60  58  -1  59 
60  12  168  16  30 
61  62  60  -1  61 
62  96  30  62 
63  104  36  21 
64  127  32 
65  84  48  65 
66  144  20  -1  66 
67  68  66  -1  67 
68  126  32  34 
69  96  44  69 
70  144  24  -1  70 
{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
71  72  70  -1  71 
72  12  195  24 
73  74  72  -1  73 
74  114  36  74 
75  124  40  15 
76  140  36  38 
77  96  60  77 
78  168  24  -1  78 
79  80  78  -1  79 
80  10  186  32  10 
81  121  54 
82  126  40  82 
83  84  82  -1  83 
84  12  224  24  42 
85  108  64  85 
86  132  42  86 
87  120  56  87 
88  180  40  22 
89  90  88  -1  89 
90  12  234  24  30 
{ \displaystyle n } { \displaystyle d } { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \varphi } { \displaystyle \mu } { \displaystyle \text{rad} } 
91  112  72  91 
92  168  44  46 
93  128  60  93 
94  144  46  94 
95  120  72  95 
96  12  252  32 
97  98  96  -1  97 
98  171  42  14 
99  156  60  33 
100  217  40  10 

 

 

 他の数で調べたい場合は数表上で紹介したアプリを利用ください.