もう一人のY君

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合同式でなぜマイナスが使えるのか

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 合同式では当たり前に例えば { \displaystyle -1\equiv 2 \pmod 3} と言った表現をします.

 慣れていないうちはそもそもマイナスを使って良いこと自体分からないという方がおられるようです.

 

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「余り」に拘りすぎた結果

 それまで「余り」に執着し, かつその対象は正整数であり, 負数である場合は殆ど取り上げませんでした.

 結果, 以下のような定義を見て却って違和感を覚える方が多いようです.

 

 整数 { \displaystyle a,b } の差 { \displaystyle a-b } が正整数 { \displaystyle m } の倍数であるとき,

 

{ \displaystyle a\equiv b \pmod m }

 

と表し, { \displaystyle a,b } は法 { \displaystyle m } について合同であると言う.

 

 加えて言えば「倍数」についても正整数ばかり扱って来ましたから { \displaystyle a,b } の少なくとも一方が負数である場合は勿論, { \displaystyle a\lt b } となる { \displaystyle a,b } の場合もやはり「これまでと違う」と混乱する要因となり得ます.

 

 

無知の知

 他のカテゴリにも言える事ですが, 数学の中には余りに拡張されていて小中高の各々のタイミングで教えることが適わない場合があり得ます.

 例えば三平方の定理に触れたばかりでまだ三角関数を学んでいない学生に, その拡張にあたる余弦定理を教えても意味が無いのです.

 

 しかし学生によっては, その時点で「それがすべてである」と勘違いしてしまう恐れがあります.

 それは本人の思い込みであったり, 教師の教え方であったりと様々です.

 

 負数や { \displaystyle 0 } の倍数は考えない話も同じです.

 

 しかし現実は違い, その拡張が存在しえるるわけですね.

 それを知っているかどうかは, それ自身を詳しく知っているかはさておき本人の理解・解釈に少なからず影響を与えます.

 「無知の知」とはよく言ったものですね.

 これは小学校のテストでかけ算を逆にしたためバツを貰った件も根っこは同じです(この件はそれがすべてではありませんが).

 

 

「余り」からの合同式

 いづれにしろ, 合同式は余りの概念から拡張されたものと見ても全く問題はありません.

 問題なのは拡張したんですから矛盾しない限りで対象となる数もまた拡張されるべきであり, 今回はむしろそれが重要であるということです.

 

 従ってここからは「自然数」でなく「整数」として { \displaystyle a,b } を取ります.

 

 さて整数 { \displaystyle a,m (m\leq 0) } について

 

{ \displaystyle a=mq+b }

 

を満たす整数の組 { \displaystyle (q,b) } がただ一つ存在することは比較的易く分かります.

 そしてこれによって「 { \displaystyle a }{ \displaystyle m } で割った余りが { \displaystyle b }」であることが同値となります(もっと言えば { \displaystyle 0\lt b\leq m } ですね).

 

 「余り」の頃はここまででしたが, 合同式はその(余りの視点における)本質として

 

「余りが同じである整数を同じと見なす」

 

という考え方となります, 即ち

 

「整数 { \displaystyle a,b } 双方を正整数 { \displaystyle m } で割った余りが等しいとき, { \displaystyle a,b } は『合同である』」

 

と解釈します.

 

 前述の通り整数 { \displaystyle a,b } は対応する整数 { \displaystyle q,q',r,r' } を用いて

 

{ \displaystyle a=mq+r }

{ \displaystyle b=mq'+r' }

 

を満たします.

 

 もし { \displaystyle a,b } が上の意味で「等しい」, つまり合同ならば, 双方の余りが等しい事になります, 即ち

 

{ \displaystyle a=mq+r }

{ \displaystyle b=mq'+r }

 

です.

 

 辺々引くと

 

{ \displaystyle a-b=m(q-q') }

 

, これは「 { \displaystyle a-b }{ \displaystyle m } の倍数」であることを意味しています.

 

 こうして合同式の定義が「双方の余りが等しい」ことから導かれました.

 

 { \displaystyle a-b } は仮に { \displaystyle a,b } が自然数であると制限したとしても, 結果が負数になる可能性があることを考えるとそもそも自然数と縛ること自体が不毛であることもすぐにわかります.

 

 そしてこの関係に余りは登場しません, 問題なのは双方の数そのものと, 何の倍数であるか…つまり合同式における「法」の3つとなります.

 

 

 小中高大と進学することを考えれば自ずと見えて来るとは思いますが, 今学んだことがその概念の完結と決め付けない事です.

 実際はまだまだその先があるものです.

 

 現に今回の合同式もイデアルという概念を用いた「その先」が存在します.