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【数学】ピンポイント問題3

数学 数学-問題

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161206_00

 ピンポイント問題第3弾です.

 

 

問題

 自然数 { \displaystyle n } と 非負実数 { \displaystyle m } について, 

 

{ \displaystyle (1+\sqrt m)^2 = a_n+b_n\sqrt m }

 

となるような実数列 { \displaystyle a_n, b_n } を定めます.

 このとき

 

{ \displaystyle \lim_{n \to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\sqrt m }

 

であることを示してください.

 

 { \displaystyle m=0, 1 } については自明なので証明では無視してかまいません(特に以下の証明では { \displaystyle m=0 } は使えない箇所があります).

 知恵袋だったか忘れましたがどこかで見たときは { \displaystyle m=2 } でした.

 

 

 

 ・・・

 

 

 

 

 ・・

 

 

 

 ・

 

 

 

 

[問題の証明]

 二項定理をうまく使います.

 任意の実数 { \displaystyle x }, 自然数 { \displaystyle n } について

 

{ \displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k }

 

ですから, { \displaystyle x } に { \displaystyle \sqrt m } 或いは { \displaystyle -\sqrt m } を代入すると以下になります.

 

{ \displaystyle (1+\sqrt m)^n } { \displaystyle  =\binom{n}{0}m^0+\binom{n}{1}\sqrt m+\binom{n}{ m}m } { \displaystyle +\binom{n}{3}m\sqrt m+\binom{n}{4}m^2+\binom{n}{5}m^2\sqrt m+\dots }

 

{ \displaystyle (1-\sqrt m)^n } { \displaystyle  =\binom{n}{0}m^0-\binom{n}{1}\sqrt m+\binom{n}{2}m } { \displaystyle -\binom{n}{3}m\sqrt m+\binom{n}{4}m^2-\binom{n}{5}m^2\sqrt m+\dots }

 

 ここでさりげなく初項の { \displaystyle \sqrt{m}^0 } について

 

{ \displaystyle \sqrt{m}^0=1=m^0 }

 

としています.

 さてこの2式を足したり引いたりして整理すれば次を得ます.

 

 { \displaystyle \frac{(1+\sqrt m)^n+(1-\sqrt m)^n}{2} } { \displaystyle =\binom{n}{0}m^0+\binom{n}{2}m+\binom{n}{4}m^2+\dots } { \displaystyle =\sum_{k=0}^{[\frac{n+1}{2}]}\binom{n}{2k}m^k }

 

 { \displaystyle \frac{(1+\sqrt m)^n-(1-\sqrt m)^n}{2\sqrt m} } { \displaystyle =\binom{n}{1}m^0+\binom{n}{3}m+\binom{n}{5}m^2+\dots } { \displaystyle =\sum_{l=0}^{[\frac{n+1}{2}]}\binom{n}{2l+1}m^l }

 

 明らかに前者は { \displaystyle a_n }, 後者は { \displaystyle b_n } に相当しますね.

 従って

 

{ \displaystyle \lim_{n \to\infty}\frac{a_n}{b_n} } { \displaystyle =\lim_{n \to\infty} \frac{\frac{(1+\sqrt m)^n+(1-\sqrt m)^n}{2}}{\frac{(1+\sqrt m)^n-(1-\sqrt m)^n}{2\sqrt m}} }

{ \displaystyle =\sqrt m\lim_{n \to\infty} \frac{(1+\sqrt m)^n+(1-\sqrt m)^n}{(1+\sqrt m)^n-(1-\sqrt m)^n} }

{ \displaystyle =\sqrt m\lim_{n \to\infty}\frac{1+\left( \frac{1-\sqrt m}{1+\sqrt m} \right)^n}{1-\left( \frac{1-\sqrt m}{1+\sqrt m} \right)^n} }

{ \displaystyle = \sqrt m\quad\square }

 

 

 どこかの参考書なり試験などにありそうな問題でしたね.