【数学】指数表に幾何学的特徴を見る(修正)

　以前紹介したものを少し修正したものです.

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前回の投稿

blog.thetheorier.com

　前回と言ってももう4年以上前ですね.

　原始根や指数の定義はもはや割愛しますが, 指数表を図式化することで何か特徴を見いだせないか…と思ったのがことの始まりでした.

描画ルールを変更

　前回は素数pに対して単位円をp等分して隣り合う指数の値を繋げました.

　ある程度の傾向は評価できましたが互いに平行に近い, しかし平行でない組があってなんともモヤモヤした結果でしたね.

　というわけでこれをp-1等分するよう変更しました.

　すると画像の通り, 指数表の「中央」を除いたすべての組が互いに平行になります.

　最初からこうすれば良かったですね.

　しかもよくよく見ると, 同じ素数に関する指数表のうち, 対応する2組が上下の線対称の関係にあることがわかります.

　上はp=13の場合でしたが例えばp=17でも結果は同じでした.

　どうやら原始根を小さい順に並べたとき, 1つ目と3つ目, 2つ目と4つ目, 5つ目と7つ目, 6つ目と8つ目…という組み合わせでこの傾向があるようです.

　この傾向は指数表自体からも伺い知れます.

　画像のように, 各指数が前回からいくつ増えたか, あるいは減ったか…の値がちょうど反転しています.

　p=13, r=6,11の場合もやはり同じ関係にあります.

　しかしここでInd(2)-Ind(1)だけ一致しませんね.

　これは余り難しい話でなく, 指数においてa≡b (mod p)のときInd(a)≡Ind(b) (mod p-1)が成り立ちます.

　よってr=7の場合でのInd(2)-Ind(1)=11は11-(13-1)=-1と合同であり, これは+1の反元です.

　同様にr=11の場合のInd(2)-Ind(1)=7は7-(13-1)=-5であり, これは+5の反元です.

p=37までの図表

　ここから見いだせる性質はないか色々考えていたんですがそう簡単にはいかないものです.

　とりあえずp=37まで作り直しました(前回は29まででしたが), 参考までに.

p=5

 p=5,r=2

 p=5,r=3

p=7

 p=7,r=3

 p=7,r=5

p=11

 p=11,r=2

 p=11,r=6

 p=11,r=7

 p=11,r=8

p=13

 p=13,r=2

 p=13,r=6

 p=13,r=7

 p=13,r=11

p=13

 p=17,r=3

 p=17,r=5

 p=17,r=6

 p=17,r=7

 p=17,r=10

 p=17,r=11

 p=17,r=12

 p=17,r=14

p=19

 p=19,r=2

 p=19,r=3

 p=19,r=10

 p=19,r=13

 p=19,r=14

 p=19,r=15

p=23

 p=23,r=5

 p=23,r=7

 p=23,r=10

 p=23,r=11

 p=23,r=14

 p=23,r=15

 p=23,r=17

 p=23,r=19

 p=23,r=20

 p=23,r=21

p=29

 p=29,r=2

 p=29,r=3

 p=29,r=8

 p=29,r=10

 p=29,r=11

 p=29,r=14

 p=29,r=15

 p=29,r=18

 p=29,r=19

 p=29,r=21

 p=29,r=26

 p=29,r=27

p=31

 p=31,r=3

 p=31,r=11

 p=31,r=12

 p=31,r=13

 p=31,r=17

 p=31,r=21

 p=31,r=22

 p=31,r=24

p=37

 p=37,r=2

 p=37,r=5

 p=37,r=13

 p=37,r=15

 p=37,r=17

 p=37,r=18

 p=37,r=19

 p=37,r=20

 p=37,r=22

 p=37,r=24

 p=37,r=32

 p=37,r=35