よく話題になるこの違いについてです.
算数と数学の違い
一般に言われる「計算過程を重視するかどうか」「具体的な計算を主とするかどうか」「文字を扱うかどうか」等々といろいろあります.
細かい話を抜きにすれば, これはこれで正しいです.
数学における推論構造
他の学問, いや学問に限らず言えることですが, 物事には個々の結果と, それをまとめた法則, この2つの関係にあります.
数学で言うなら例えば実際の数字を使って計算し, 何らかの傾向を掴むか, あるいは法則となる仕組みを与えてから, それに従う結論を考えるか…となります.
言葉を変えればこれは具体的な結論から法則を見出す「帰納的推論」と, 一般原理(法則)から個々の結論を与える「演繹的推論」の関係となります.
これをビジネス用語の「トップダウン」「ボトムアップ」で例えれば帰納的推論がボトムアップ, 演繹的推論がトップダウンのようなものです.
算数はこのうちボトムアップな要素が多くを占め, 数学は後述しますが後者がより重要視されます.
どの学年であっても双方を要する
結果論として, 「数学」ではこの双方の考え方が重要になってきます.
ボトムアップばかりではそれが対象を含むどこまでの空間に対してそれが対応するか分かりませんし, トップダウンだけでは具体的な「姿」がわかりにくいです.
教育課程でただ計算できれば, 定理を暗記できれば良い…でなくそれを理解し, 応用ができ, 人に説明できるようになるのが理想であるのと同じように, 数学そのものもただ一方通行というわけではありません.
今世の中に溢れている数多の定理は, 初っ端から定理そのものを思いついたものがすべてではなく, 科学のように幾つかの「実験」を重ねて法則を推測し, 後で証明を与えることで定理と成した例はたくさんあります.
その最たる例は未解決問題でしょう.
実際のところ, 例えば小学生や中学生といった時点でトップダウンな教育を行うことは事実上不可能です.
初学時からマルチンゲールがどうだ, 関手がどうだ…なんて出来るわけが無いからです.
それにそこまで高度な内容を教えられる教師もいません.
結果, 初学時は比較的「ボトムアップ」な内容が多くを占め, 進級するごとにトップダウンな要素の割合が増えていく仕組みとなっているわけです.
教育課程の仕組みによる弊害
ある意味このやり方は正しいですが, やり方を間違えると思わぬ誤解・決めつけを生む原因となります.
巷で話題となる掛け算の順番や割り算の扱いなどはその最たる例であり, 例えば「問題の意味を理解してもらうため」につけた不正解でも, その意図を伝えなかれば一般から見ればそれは理不尽な採点と思い込んでしまうのは当然のことです.
また「当たり前」であっても教育課程上教えられない場合, 何らかの理由を付けてそれを「縛る」必要があります, 例えば割り算はなぜ逆数で掛けるのか, 0や負数は倍数や約数に含めるのか…等々です.
「数学」を知ってる側からすればすんなり受け入れられる話でも, ある学生によっては「そうは習わなかったから」ということで話が合わなくなってしまいます.
しかしいつかはそれを, つまり拡張概念を受け入れる時が(モノによっては来る前に学生を卒業する人もいますが)来ます.
その時, 縛られた決まりに従っていたものから如何に脱却できるかどうかで, それをすんなり受け入れられるかどうかが決まってきます.
「初めからそう習えば良い」けど「それは効率的でない」, これもまた算数としての役割であり, また算数と数学の違いであり, また算数から数学へ移行する難しさでもあります.
極端な話, 自身の受け入れ方に加え教師の教え方に, 「算数から数学への移行がすんなりできるかどうか」がかかっているのです.
