【数学】指数表に見る巡回置換

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　先日紹介した原始根, 及び指数表から分かる傾向についてです.

[Contents]

巡回置換とは
指数表を置換と見なす
- 降下置換
- 部分巡回置換
p=47までの奇素数すべてで見てみる
- p=5, g=2
- p=5, g=3
- p=7, g=3
- p=7, g=5
- p=11, g=2
- p=11, g=6
- p=11, g=7
- p=11, g=8
- p=13, g=2
- p=13, g=6
- p=13, g=7
- p=13, g=11
- p=17, g=3
- p=17, g=5
- p=17, g=6
- p=17, g=7
- p=17, g=10
- p=17, g=11
- p=17, g=12
- p=17, g=14
- p=19, g=2
- p=19, g=3
- p=19, g=10
- p=19, g=13
- p=19, g=14
- p=19, g=15
- p=23, g=5
- p=23, g=7
- p=23, g=10
- p=23, g=11
- p=23, g=14
- p=23, g=15
- p=23, g=17
- p=23, g=19
- p=23, g=20
- p=23, g=21
- p=29, g=2
- p=29, g=3
- p=29, g=8
- p=29, g=10
- p=29, g=11
- p=29, g=14
- p=29, g=15
- p=29, g=18
- p=29, g=19
- p=29, g=21
- p=29, g=26
- p=29, g=27
- p=31, g=3
- p=31, g=11
- p=31, g=12
- p=31, g=13
- p=31, g=17
- p=31, g=21
- p=31, g=22
- p=31, g=24
- p=37, g=2
- p=37, g=5
- p=37, g=13
- p=37, g=15
- p=37, g=17
- p=37, g=18
- p=37, g=19
- p=37, g=20
- p=37, g=22
- p=37, g=24
- p=37, g=32
- p=37, g=35
- p=41, g=6
- p=41, g=7
- p=41, g=11
- p=41, g=12
- p=41, g=13
- p=41, g=15
- p=41, g=17
- p=41, g=19
- p=41, g=22
- p=41, g=24
- p=41, g=26
- p=41, g=28
- p=41, g=29
- p=41, g=30
- p=41, g=34
- p=41, g=35
- p=43, g=3
- p=43, g=5
- p=43, g=12
- p=43, g=18
- p=43, g=19
- p=43, g=20
- p=43, g=26
- p=43, g=28
- p=43, g=29
- p=43, g=30
- p=43, g=33
- p=43, g=34
- p=47, g=5
- p=47, g=10
- p=47, g=11
- p=47, g=13
- p=47, g=15
- p=47, g=19
- p=47, g=20
- p=47, g=22
- p=47, g=23
- p=47, g=26
- p=47, g=29
- p=47, g=30
- p=47, g=31
- p=47, g=33
- p=47, g=35
- p=47, g=38
- p=47, g=39
- p=47, g=40
- p=47, g=41
- p=47, g=43
- p=47, g=44
- p=47, g=45

巡回置換とは

　まずタイトルにある巡回置換についてです.

　数学では, $1, 2, 3, \dots, n$ の数字を入れ替える操作を「置換」と言います.

　例えば $(1\,2\,3)$ で $2$ と $3$ を入れ替えれば $(1\,3\,2)$ なわけですが, これを数学では

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 3 \ 2 \end{array} \right)$

と書き表します.

　とくに置換によって全体が一巡する場合を巡回置換と言います.

　例えば上の $\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 3 \ 2 \end{array} \right)$ は残念ながら巡回置換ではありませんが, 例えば

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 2 \ 3 \ 1 \end{array} \right)$

なら一巡するので巡回置換ですね.

　しかし上の通り, 置換の全てがうまいこと巡回置換になるわけではないので, 置換の一部で巡回置換となるとき, そこだけを取ってこの記事に限り「部分巡回置換」とでも呼ぶことにします.

(一般には, ある置換に対する巡回置換成分を指します)

　具体的には, 上記の $\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 3 \ 2 \end{array} \right)$ であれば

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ \displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 \ 3 \\ 3 \ 2 \end{array} \right)$

が巡回置換となるので, この2つが $\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 1 \ 3 \ 2 \end{array} \right)$ の部分巡回置換と見なします.

　また, 巡回置換は1行行列のように略記することもできます, 例えば $\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 2 \ 3 \ 1 \end{array} \right)$ は $1\to2\to3$ と並び替えられていくわけですから, これを

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \end{array} \right)$

と書くわけです, つまり

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 2 \ 3 \ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \end{array} \right)$

ということですね.

指数表を置換と見なす

　さて, 置換についての基本を書いたところで本題に入りたいと思います.

blog.thetheorier.com

　指数や指数表については過去のエントリを参照ください.

　例えば例として素数 $p=7$ , 原始根 $g=2$ の指数表を例に考えると以下のようになります.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ind	0	1	8	2	4	9	7	3	6	5

　これを置換として眺めてみます.

降下置換

161115_01

　まず $\text{Ind}(1)$ , 或いは $n=10$ 側でも良いですが, この場合は $\text{Ind}(1)=0$ であるためにその先がありません.

　従ってこれに絡む置換は巡回置換ではありません.

　これは任意の奇素数, それに対する原始根について必ず存在します.

　巡回っぽく書けば今回は一行表記で

$\left( \begin{array}{ccc} 10 \ 5 \ 4 \ 2 \ 1 \ 0 \end{array} \right)$

とするしか無さそうです(実際には巡回置換ではないことに注意).

　一般的に書けば, 任意の奇素数 $p$ について

$\left( \begin{array}{ccc} p-1 \ \frac{p-1}{2} \ \dots \ 1 \ 0 \end{array} \right)$

ということで先頭と後ろの2項ずつは確定します.

　必ず最後は $1\,0$ で終わるので, この擬似置換を本記事に限り降下置換とでも呼びましょう.

部分巡回置換

　残る項はすべて, なんらかの部分巡回置換に含まれます.

161115_02

　実際上の $p=13, g=2$ の例では画像の青と緑のように 2つの巡回置換が見られます, 具体的に書けば

$\left( \begin{array}{ccc} 3 \ 8 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 6 \ 9 \end{array} \right)$

の2つですね.

161115_03

　また特別な例として自分自身に帰って来るケースもあります.

　巡回置換(擬似巡回置換を含む)は互いに独立であり, 従って登場する数はいづれもこれらの巡回列によって類別されます.

　とはいっても擬似巡回列があるため別証明を与えないといけない所ですが, 今回はまだまだ推論に留まる範囲なので省略します.

p=47までの奇素数すべてで見てみる

　今回気になったのは, この部分巡回置換が奇素数, そしてその原始根についてどのような性質をもっているか…ということです.

　まぁ結果的に分からずじまいで何年も経ってるわけですが, 僕の頭の中に留めて終わりなのは勿体ないので, こうして長い前置きの上で紹介する次第です.

　これを見て何かひらめくものがあれば嬉しいです.

　なお, 一行表記のようにすると隣同士の区別がつき辛いので, セルごとに分けて "," で区切ることにします.

例：

$\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \\ 2 \ 3 \ 1 \end{array} \right)$ = $\left( \begin{array}{ccc} 1 \ 2 \ 3 \end{array} \right)$ =(1,2,3)

　結果的にかなりのボリュームになってしまいました.

p=5, g=2

降下置換
(4,2,1,0)
部分巡回置換
(3)

p=5, g=3

降下置換
(4,2,3,1,0)
部分巡回置換
null

p=7, g=3

降下置換
(6,3,1,0)
部分巡回置換
(2) (4) (5)

p=7, g=5

降下置換
(6,3,5,1,0)
部分巡回置換
(2,4)

p=11, g=2

降下置換
(10,5,4,2,1,0)
部分巡回置換
(3,8) (6,9) (7)

p=11, g=6

降下置換
(10,5,6,1,0)
部分巡回置換
(2,9,4,8,7,3)

p=11, g=7

降下置換
(10,5,2,3,4,6,7,1,0)
部分巡回置換
(8,9)

p=11, g=8

降下置換
(10,5,8,1,0)
部分巡回置換
(2,7,9) (3,6)

p=13, g=2

降下置換
(12,6,5,9,8,3,4,2,1,0)
部分巡回置換
(7,11)

p=13, g=6

降下置換
(12,6,1,0)
部分巡回置換
(2,5,9,4) (3,8) (7)

p=13, g=7

降下置換
(12,6,7,1,0)
部分巡回置換
(2,11,5,3,8,9,4,10)

p=13, g=11

降下置換
(12,6,11,1,0)
部分巡回置換
(2,7,5,3,4) (8,9)

p=17, g=3

降下置換
(16,8,10,3,1,0)
部分巡回置換
(2,14,9) (4,12,13) (5) (6,15) (7,11)

p=17, g=5

降下置換
(16,8,2,6,3,13,4,12,9,10,7,15,14,5,1,0)
部分巡回置換
(11)

p=17, g=6

降下置換
(16,8,6,1,0,1,0)
部分巡回置換
(2) (3,15,10,13,12) (4) (5,11,9,14,7)

p=17, g=7

降下置換
(16,8,14,11,5,15,2,10,9,6,13,12,7,1,0)
部分巡回置換
(3) (4)

p=17, g=10

降下置換
(16,8,14,3,11,13,12,15,2,10,1,0)
部分巡回置換
(4) (5,7,9,6)

p=17, g=11

降下置換
(16,8,6,9,14,15,10,5,3,7,13,12,11,1,0)
部分巡回置換
(2) (4)

p=17, g=12

降下置換
(16,8,2,6,11,3,5,9,10,15,14,13,4,12,1,0)
部分巡回置換
(7)

p=17, g=14

降下置換
(16,8,10,11,15,6,7,3,9,2,14,1,0)
部分巡回置換
(4,12,5,13)

p=19, g=2

降下置換
(18,9,8,3,13,5,16,4,2,1,0)
部分巡回置換
(6,14,7) (10,17) (11,12,15)

p=19, g=3

降下置換
(18,9,2,7,6,8,3,1,0)
部分巡回置換
(4,14,13,17,16,10,11,12,15,5)

p=19, g=10

降下置換
(18,9,10,1,0)
部分巡回置換
(2,17,8,15,7,12,3,5) (4,16,14,11,6) (13)

p=19, g=13

降下置換
(18,9,16,8,15,13,1,0)
部分巡回置換
(2,11,6,10,7,12,3,17) (4) (5,14)

p=19, g=14

降下置換
(18,9,14,1,0)
部分巡回置換
(2,13,11,12,15,17,4,8,3,7,6) (5,10) (16)

p=19, g=15

降下置換
(18,9,4,10,13,7,12,3,11,6,16,2,5,8,15,1,0)
部分巡回置換
(14,17)

p=23, g=5

降下置換
(22,11,9,10,3,16,8,6,18,12,20,5,1,0)
部分巡回置換
(2) (4) (7,19,15,17) (13,14,21)

p=23, g=7

降下置換
(22,11,19,17,5,7,1,0)
部分巡回置換
(2,14,15,9,4,6,16,12,8,20,13,10,21,3) (18)

p=23, g=10

降下置換
(22,11,3,20,9,18,4,16,10,1,0)
部分巡回置換
(2,8) (5,15,13,12,14,7,21,19) (6) (17)

p=23, g=11

降下置換
(22,11,1,0)
部分巡回置換
(2,10,15,19,9,6) (3,14,17,13,4,20) (5) (7) (8) (12) (16,18) (21)

p=23, g=14

降下置換
(22,11,13,8,16,14,1,0)
部分巡回置換
(2,20,17,15,5,21,9,12) (3,6,4,18,10,19,7)

p=23, g=15

降下置換
(22,11,7,5,13,6,14,9,20,21,15,1,0)
部分巡回置換
(2,4,8,12,18) (3,10,17) (16) (19)

p=23, g=17

降下置換
(22,11,17,1,0)
部分巡回置換
(2,16,20,7,9,14,3,18,8,4,10,13) (5,19,21) (6,12) (15)

p=23, g=19

降下置換
(22,11,5,3,4,12,16,2,6,10,9,8,18,14,19,1,0)
部分巡回置換
(7,13,20,15) (17,21)

p=23, g=20

降下置換
(22,11,15,21,7,17,19,3,12,4,14,13,16,6,8,10,5,9,2,18,20,1,0)
部分巡回置換
null

p=23, g=21

降下置換
(22,11,21,1,0)
部分巡回置換
(2,12,10,7,15,3,8,14,5,17,9,16,4) (6,20,19,13,18)

p=29, g=2

降下置換
(28,14,13,18,11,25,16,4,2,1,0)
部分巡回置換
(3,5,22,26,19,9,10,23,20,24,8) (6) (7,12) (15,27) (17,21)

p=29, g=3

降下置換
(28,14,25,20,16,12,7,8,23,4,6,18,19,13,26,15,11,5,10,27,3,1,0)
部分巡回置換
(2,17,21,9) (22) (24)

p=29, g=8

降下置換
(28,14,23,16,20,8,1,0)
部分巡回置換
(2,19,3,11,27,5,26,25,24,12,21,15,9,22,18,13,6) (4,10,17,7)

p=29, g=10

降下置換
(28,14,3,27,25,8,5,18,9,26,13,2,11,23,24,4,22,6,10,1,0)
部分巡回置換
(7,20,12,21,19,15,17) (16)

p=29, g=11

降下置換
(28,14,5,2,9,6,26,3,17,21,13,22,10,11,1,0)
部分巡回置換
(4,18,15,19,25) (7,24,16,8,27,23,12) (20)

p=29, g=14

降下置換
(28,14,1,0)
部分巡回置換
(2,13,10,19,5,6,22) (3,9,18) (4,26,23,8,11,17,21,25,12,7,16,24,20) (15) (27)

p=29, g=15

降下置換
(28,14,15,1,0)
部分巡回置換
(2,27,13,10,5,6,22) (3,23,8,25,12,21,11) (4,26,9,18,17,7,16,24,20) (19)

p=29, g=18

降下置換
(28,14,19,11,15,5,2,23,12,21,27,9,6,26,17,7,24,16,8,13,22,10,25,4,18,1,0)
部分巡回置換
(3) (20)

p=29, g=19

降下置換
(28,14,17,21,5,18,23,24,4,22,6,10,15,3,13,2,25,8,19,1,0)
部分巡回置換
(7,20,12) (9,26,27,11) (16)

p=29, g=21

降下置換
(28,14,9,22,18,27,19,17,21,1,0)
部分巡回置換
(2,5,26,11,13,6) (3,25,24,12,7,4,10) (8,15,23,16,20)

p=29, g=26

降下置換
(28,14,27,1,0)
部分巡回置換
(2,15,13,18,25,16,4) (3,19,23,20,24,8,17,7,12,21) (5,22,26) (6) (9,10) (11)

p=29, g=27

降下置換
(28,14,27,1,0)
部分巡回置換
(2,15,13,18,25,16,4) (3,19,23,20,24,8,17,7,12,21) (5,22,26) (6) (9,10) (11)

p=31, g=3

降下置換
(30,15,21,29,9,2,24,13,11,23,27,3,1,0)
部分巡回置換
(4,18,26,5,20,8,12,19) (6,25,10,14,22,17,7,28,16)

p=31, g=11

降下置換
(30,15,27,21,13,7,26,25,20,16,12,23,9,4,6,5,10,28,2,18,22,19,8,24,11,1,0)
部分巡回置換
(3,17,29) (14)

p=31, g=12

降下置換
(30,15,9,8,18,14,28,4,12,1,0)
部分巡回置換
(2,6,25,10,26,5,20) (3,19,16,24,7,22,23) (11,17,13,29,21) (27)

p=31, g=13

降下置換
(30,15,21,19,14,2,24,23,27,3,11,13,1,0)
部分巡回置換
(4,18,16,6,5,10) (7,8,12,29,9,22) (17) (20,28,26,25)

p=31, g=17

降下置換
(30,15,3,13,23,21,17,1,0)
部分巡回置換
(2,12,7,4,24,19,22,11,29,27,9,26,5,20,14,16,18,8,6,25,10) (28)

p=31, g=21

降下置換
(30,15,9,28,14,8,18,4,12,11,7,2,6,5,10,16,24,17,23,3,29,21,1,0)
部分巡回置換
(13,19,26,25,20,22) (27)

p=31, g=22

降下置換
(30,15,3,23,21,7,14,26,25,20,4,24,29,27,9,16,18,28,8,6,5,10,22,1,0)
部分巡回置換
(2,12,17,11,19) (13)

p=31, g=24

降下置換
(30,15,27,21,23,9,14,4,6,25,10,8,24,1,0)
部分巡回置換
(2,18) (3,7,16,12,13,17,19,28,22,29) (5,20,26) (11)

p=37, g=2

降下置換
(36,18,17,7,32,5,23,15,13,11,30,14,33,20,25,10,24,29,21,22,31,9,16,4,2,1,0)
部分巡回置換
(3,26,12,28,34,8) (6,27) (19,35)

p=37, g=5

降下置換
(36,18,7,28,14,3,34,16,8,33,4,22,17,5,1,0)
部分巡回置換
(2,11,6,9,32,19,25) (15,35,29) (10,12,20,23,21,26,24,31,27,30) (13)

p=37, g=13

降下置換
(36,18,31,27,30,34,4,10,12,32,7,16,20,35,5,25,14,3,22,29,15,11,6,9,8,33,28,26,24,19,13,1,0)
部分巡回置換
(2,23,21) (17)

p=37, g=15

降下置換
(36,18,29,21,10,24,5,35,7,8,3,2,25,34,20,13,23,15,1,0)
部分巡回置換
(4,14,33,32,17,31,9) (6,27) (11,30,26,12,16,28,22,19)

p=37, g=17

降下置換
(36,18,23,33,8,21,34,32,11,30,2,31,27,6,9,28,10,24,35,13,17,1,0)
部分巡回置換
(3,14,15,7,20,19,5,29) (4,26,12) (16) (22,25)

p=37, g=18

降下置換
(36,18,1,0)
部分巡回置換
(2,17,11,6,27,30,22,23,3,10,12,8,15,5,31,9,20,29,33,16,32,13,7,4,34,28) (14,21) (19) (24,25,26) (35)

p=37, g=19

降下置換
(36,18,19,1,0)
部分巡回置換
(2,35,17,29,15,23,21,14,3,10,12,8,33,16,32,31,27,30,22,5,13,25,26,24,7,4,34,28) (6,9,20,11)

p=37, g=20

降下置換
(36,18,5,11,30,2,13,35,31,9,28,10,24,17,19,23,15,25,22,7,20,1,0)
部分巡回置換
(3,14,33,8) (4,26,12) (16) (21,34,32,29)

p=37, g=22

降下置換
(36,18,11,30,26,12,16,28,22,1,0)
部分巡回置換
(2,7,8,21,10,24,23,33,32,35,25,34,20,31,27,6,9,5,14,15,19,29,3) (5,17,13)

p=37, g=24

降下置換
(36,18,13,19,31,9,8,15,29,33,28,26,24,1,0)
部分巡回置換
(2,5,7,16,20,17,35,23,3,22,11,6,27,30,34,4,10,12,32,25,14,21)

p=37, g=32

降下置換
(36,18,25,2,29,33,4,22,35,11,6,27,30,10,12,20,5,19,7,28,14,21,26,24,13,31,9,32,1,0)
部分巡回置換
(3,34,16,8,15,17,23)

p=37, g=35

降下置換
(36,18,35,1,0)
部分巡回置換
(2,19,17,25,10,24,11,30,14,15,31,27,6,9,16,4) (3,26,12,28,21,22,13,29) (5) (7,32,23,33,20) (8,34)

p=41, g=6

降下置換
(40,20,34,19,9,30,23,36,2,26,17,33,18,16,24,13,31,28,11,3,15,37,32,10,8,38,35,21,14,25,4,12,27,5,22,29,7,39,6,1,0)
部分巡回置換
null

p=41, g=7

降下置換
(40,20,6,39,34,21,26,23,4,28,29,33,22,11,37,8,2,14,15,3,25,36,38,5,18,24,27,35,19,31,12,13,9,10,32,30,17,7,1,0)
部分巡回置換
(16)

p=41, g=11

降下置換
(40,20,38,25,28,17,11,1,0)
部分巡回置換
(2,22,23,12,9,10,16,8,26,19,3,5,34,33,6,27,15,39) (4) (7,13,37,24,31,36,14,35) (18,32,30,21) (29)

p=41, g=12

降下置換
(40,20,22,7,37,16,32,30,29,21,2,38,25,12,1,0)
部分巡回置換
(3,5,26,11,9,10,24,39,18,8,34,17,19,27,15,31,4,36,6) (13) (14,35,23,28,33)

p=41, g=13

降下置換
(40,20,14,15,27,35,11,13,1,0)
部分巡回置換
(2,6,31,28,21,34,29,17,23,36,22,19,39,26,7,9,10,8,18,16,24,3,25,4,12,37,32,30,33,38,5)

p=41, g=15

降下置換
(40,20,2,18,8,14,5,6,13,3,35,33,34,7,27,25,12,31,4,36,26,21,22,17,29,11,39,38,15,1,0)
部分巡回置換
(9,30,19,37,16,32,10,24) (23,28)

p=41, g=17

降下置換
(40,20,18,32,10,16,8,6,17,1,0)
部分巡回置換
(2) (4) (5,14,25,28,27) (7,23,12,19,33,26,9,30,31,36,34,3,15,29,39,22,13) (11) (21,38,35,37,24)

p=41, g=19

降下置換
(40,20,26,33,2,34,11,27,5,38,35,29,23,4,28,19,1,0)
部分巡回置換
(3,15,13,39,14,25,36,18,24,37,8,22,21,6,9,30,7,31,12) (10,32) (16) (17)

p=41, g=22

降下置換
(40,20,26,13,19,21,6,29,3,35,9,30,27,25,36,18,24,17,37,8,22,1,0)
部分巡回置換
(2,34,31,12,23,4,28,39,14,5,38,15,33) (7,11) (10,32) (16)

p=41, g=24

降下置換
(40,20,18,32,10,16,8,6,37,24,1,0)
部分巡回置換
(2) (3,35,17,21,38,15,9,30,11,31,36,34,23,12,39,22,33,26,29,19,13,27,25,28,7) (4) (5,14)

p=41, g=26

降下置換
(40,20,2,18,8,14,25,12,11,19,17,9,30,39,38,35,13,23,28,3,15,21,22,37,16,32,10,24,29,31,4,36,26,1,0)
部分巡回置換
(5,6,33,34,27) (7)

p=41, g=28

降下置換
(40,20,14,35,31,28,1,0)
部分巡回置換
(2,6,11,33,38,25,4,12,17,3,5) (7,29,37,32,30,13,21,34,9,10,8,18,16,24,23,36,22,39,26,27,15) (19)

p=41, g=29

降下置換
(40,20,22,27,35,3,25,12,21,2,38,5,26,31,4,36,6,23,28,13,33,14,15,11,29,1,0)
部分巡回置換
(8,34,37,16,32,30,9,10,24,19,7,17,39,18)

p=41, g=30

降下置換
(40,20,38,5,34,13,17,31,36,14,15,19,23,12,29,9,10,16,8,26,39,2,22,3,25,28,37,24,11,21,18,32,30,1,0)
部分巡回置換
(4) (6,7,33) (27,35)

p=41, g=34

降下置換
(40,20,6,19,11,17,27,15,23,4,28,9,10,32,30,37,8,2,14,35,39,34,1,0)
部分巡回置換
(3,5,18,24,7,21,26) (12,33,22,31) (13,29) (16) (25,36,38)

p=41, g=35

降下置換
(40,20,34,39,6,21,14,5,22,9,30,3,35,1,0)
部分巡回置換
(2,26,37,32,10,8,38,15,17,13,11,23,36) (4,12,7,19,29,27,25) (16,24,33,18) (28,31)

p=43, g=3

降下置換
(42,21,36,14,20,37,7,35,18,29,41,6,28,5,25,8,39,33,31,34,23,16,24,40,22,15,26,17,38,4,12,13,32,9,2,27,3,1,0)
部分巡回置換
(10) (11,30) (19)

p=43, g=5

降下置換
(42,21,30,29.5,1,0)
部分巡回置換
(2,33,13,8,15,38,22,9,32,39,3,37,7,35,36,14,26,41,12,19,31,40,16,6,28,17,20,25) (4,24,10,34,11,18,23) (27)

p=43, g=12

降下置換
(42,21,6,28,23,40,34,5,31,22,27,39,9,26,11,12,1,0)
部分巡回置換
(2,15) (3,13,38,10,4,30,17,32,33,25,20,19,37,7,35,24,16,18,41,36,14,8) (29)

p=43, g=18

降下置換
(42,21,36,28,19,5,11,30,25,22,15,40,8,39,33,17,10,38,32,9,16,24,26,31,20,23,2,27,3,29,13,4,12,41,6,14,34,37,35,18,1,0)
部分巡回置換
(7)

p=43, g=19

降下置換
(42,21,24,22,3,31,4,36,14,32,27,9,20,13,26,23,34,41,18,17,2,39,15,8,33,37,7,35,12,25,38,40,10,16,30,5,19,1,0)
部分巡回置換
(6,28,29,11)

p=43, g=20

降下置換
(42,21,18,11,36,14,38,16,12,31,10,40,4,6,28,41,24,34,29,17,26,5,37,7,35,30,23,22,39,27,33,19,13,2,3,25,32,15,20,1,0)
部分巡回置換
(8,9)

p=43, g=26

降下置換
(42,21,12,23,38,20,17,22,33,29,37,35,6,14,16,36,28,25,40,26,1,0)
部分巡回置換
(2,9,10,8,27,15,4,18,19,11,24,32,3,5,41,30,13,34,31) (7) (39)

p=43, g=28

降下置換
(42,21,24,8,33,23,20,41,18,31,32,27,9,34,13,40,38,26,37,35,12,11,6,14,4,36,28,1,0)
部分巡回置換
(2,39,15,22,3,17,16,30,19,29,25,10) (5) (7)

p=43, g=29

降下置換
(42,21,6,14,22,27,39,9,40,20,5,17,4,30,31,8,3,41,36,28,37,35,24,2,15,16,18,13,10,32,33,11,12,29,1,0)
部分巡回置換
(7) (19,23,26,25,34) (38)

p=43, g=30

降下置換
(42,21,30,1,0)
部分巡回置換
(2,33,41,12,5,29,19,17,34,25,16,6,14,40) (3,23,32,39) (4,24,38,8,15,10,20,11,18,37,35,36,28,31,26,13,22,9) (7) (27)

p=43, g=33

降下置換
(42,21,12,37,7,35,6,28,11,24,4,18,5,13,20,31,16,36,14,2,9,38,34,17,8,27,15,32,3,19,25,26,29,23,10,22,33,1,0)
部分巡回置換
(30,41) (39) (40)

p=43, g=34

降下置換
(42,21,18,25,4,6,14,10,26,19,41,24,20,29,31,38,2,3,11,36,28,13,16,12,17,40,32,15,34,1,0)
部分巡回置換
(5,23,8,9,22,39,27,33) (7) (30,35,37)

p=47, g=5

降下置換
(46,23,5,1,0)
部分巡回置換
(2,18,12,10,19,45,41,15,21,6,38,17,16,26,29,35,33,27,14,4,36,30,39,31,3,20,37,42,24,28,22,25) (7,32,44,43,13,11) (8) (9,40) (34)

p=47, g=10

降下置換
(46,23,39,21,10,1,0)
部分巡回置換
(2,30,19,29,43,37,24,16,28,6) (3,18,20,31,5,17,42,40,15,35,9,36,4,14,22,11,27,8,44,41,25,34,26,33,45,7,38,13) (12,32)

p=47, g=11

降下置換
(46,23,27,2,42,10,29,5,33,17,22,43,15,3,16,30,45,19,13,41,35,31,7,44,39,11,1,0)
部分巡回置換
(4,38,9,32,26,37,6,12,8,34,18,28,36,24) (14,40,21) (20,25)

p=47, g=13

降下置換
(46,23,13,1,0)
部分巡回置換
(2,10,31,17,14,38,35,3,6,16,40,5,21,34,24,36,32,4,20,41,39,7,28) (8,30,37) (9,12,26,11) (15,27,18,22,19,25,42,44,29,45,33) (43)

p=47, g=15

降下置換
(46,23,9,26,43,5,11,31,33,21,20,39,19,35,41,27,16,10,25,22,45,37,2,14,44,13,29,17,38,3,36,8,42,34,6,4,28,12,18,40,7,30,15,1,0)
部分巡回置換
(24,32)

p=47, g=19

降下置換
(46,23,41,31,43,33,19,1,0)
部分巡回置換
(2,28,24,18,34,12,36,16,20,9,6,8,38,29,11,39,15,25,44,3,26,17,30,7,14,42,22,21,40,37,4,10,27,32) (5,45) (13,35)

p=47, g=20

降下置換
(46,23,25,10,3,8,40,45,21,30,11,35,27,24,2,44,31,15,13,9,16,38,39,17,34,32,36,12,4,42,28,18,14,20,1,0)
部分巡回置換
(5) (6) (7,22,33,43,19,41,29,37,26)

p=47, g=22

降下置換
(46,23,37,44,33,25,24,14,2,32,22,1,0)
部分巡回置換
(3,10,21,26) (4,18,6,42,12,28,34,40,39,27,30,31,13,17,8) (5,35) (7,16,36,38,43,41,19,11,15,45,9,20) (29)

p=47, g=23

降下置換
(46,23,1,0)
部分巡回置換
(2,22,5,37,36,6,26,15,41,3,4,44,27,12) (7,34,16,42,14,10,13,39,43,21,38,31,19,9,8,20,35,25,28,32,18,30,17,40,11,29) (24) (33) (45)

p=47, g=26

降下置換
(46,23,43,29,25,8,32,38,45,3,34,44,11,5,27,10,7,36,28,42,4,6,14,16,12,40,13,21,24,20,33,39,9,22,31,35,17,18,2,26,1,0)
部分巡回置換
(15) (19) (30,41,37)

p=47, g=29

降下置換
(46,23,33,31,29,1,0)
部分巡回置換
(2,36,14,8,16,6,30,9,34,22,27,28,44,17,32,42) (3,40,41,7,18,24,10,15,19,21,12,20,5,25,4,26,35,43) (11,37,38) (39)

p=47, g=30

降下置換
(46,23,19,33,29,41,11,45,27,44,7,2,4,8,12,38,37,40,25,26,9,14,6,34,28,10,17,24,42,36,22,3,30,1,0)
部分巡回置換
(5,13) (15,43,31,39,35) (16) (18) (20,21,32)

p=47, g=31

降下置換
(46,23,17,36,10,37,14,32,30,13,19,15,7,26,25,16,24,40,3,22,39,41,5,31,1,0)
部分巡回置換
(2,6,28,38,21) (4,12,34,42,8,18) (9,44,45,29,27,20,43,35,11,33)

p=47, g=33

降下置換
(46,23,7,8,2,16,18,26,13,43,9,10,45,39,25,12,14,24,30,27,38,33,1,0)
部分巡回置換
(3,28,40,31,41,21,36,42,6,44,5,29) (4,32,34,20,15,11,19,17) (22,35,37)

p=47, g=35

降下置換
(46,23,35,1,0)
部分巡回置換
(2,34,8,10,41,13,31,21,42,30,43,45,11,3) (4,22,37,18,38,27,6,36,26,19,39,33,5,7,40,17,20,29,15,9) (12,24) (14,28,16,44,25) (32)

p=47, g=38

降下置換
(46,23,3,12,6,32,8,14,30,5,19,27,36,18,44,35,29,21,22,15,31,11,41,9,24,26,45,43,17,28,4,40,33,7,10,39,37,16,34,2,20,13,25,38,1,0)
部分巡回置換
(42)

p=47, g=39

降下置換
(46,23,15,17,2,8,24,38,5,3,14,12,30,25,6,22,29,13,33,35,7,4,16,32,40,27,42,26,41,45,31,9,28,20,19,43,39,1,0)
部分巡回置換
(10,11,21,18,36,44,37,34)

p=47, g=40

降下置換
(46,23,21,16,8,6,40,1,0)
部分巡回置換
(2) (3,38,7,24,44,15,33) (4) (5,41,17,12,42,18,32,10,43,27,22,13,20,45,25,36,34,14,26,39,29,9,30,35,19) (11) (28) (31)

p=47, g=41

降下置換
(46,23,31,37,12,16,14,34,36,2,38,41,1,0)
部分巡回置換
(3,32,6,24,8,22,17,44,9,18,10,35,39,45,15,29,33,11,25,40,19) (4,30,21,28,26,5,43,7,42,20,27) (13)

p=47, g=43

降下置換
(46,23,11,43,1,0)
部分巡回置換
(2,12,22,9,42,16) (3,44,21,4,24,34,38,19,7,6,10,5,39,13,15,37,28,30) (8,36,20,17,26,27,40,29,31,25,32,14,18) (33,41) (35,45)

p=47, g=44

降下置換
(46,23,29,19,31,45,17,10,9,2,40,43,11,13,27,26,21,44,1,0)
部分巡回置換
(3,24,6,18,42,38,25,30,33,37,32,16,22,7,20) (4,34) (5,15,39) (8,28) (12) (14) (35) (36) (41)

p=47, g=45

降下置換
(46,23,45,1,0)
部分巡回置換
(2,24,22,41,43,25,18,16,4) (3,42,32,28,14,36,40,35,21,8,26,31,27,34,30,29,39) (5,9,38,15) (6,20,11,17) (7,12,44,19,37,10,33,13)

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