もう一人のY君

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【数学】個人の得点と平均だけで偏差値を求めることはできるのか

数学

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　学生だったら気になる偏差値の話です.

 

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偏差値とは

　偏差値とは, ある標本が有限個のサンプルの中でどの位置にあるかを数値化したもので, 特に

 

  • 平均値が { \displaystyle 50 }
  • 標準偏差が { \displaystyle 10 }

 

となるようにしたものです.

　具体的な計算式は以下となっています.

 

 

[定義：偏差値]

  • 個々人の点数：{ \displaystyle x_i\quad (i=1,2,\dots , N) }　( { \displaystyle N } ：標本数)
  • 平均：{ \displaystyle \mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i }
  • 標準偏差：{ \displaystyle \sigma = \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2 } }

 

と定めると, 個々人の偏差値 { \displaystyle S_i } は以下となる.

 

{ \displaystyle S_i = \frac{10(x_i-\mu)}{\sigma}+50 }

 

　おおまかに, 平均点を取った人が { \displaystyle 50 } に, そしてもし得点分布が正規分布に近い場合, 例えば偏差値 { \displaystyle 60 } 以上が全体の約 { \displaystyle 15.8\% } となります.

 

　偏差値の理屈は各々の教科ごとの分布を統一するために一度標準化を行い, 更に平均値を取った人が偏差値 { \displaystyle 50 } となるように調節したものになります.

 

 

個人の点数と平均だけでは計算できない

　この「標準偏差」が曲者で, 見ての通り個々の点数からなる分散を計算し, その平方根をとっています.

 

　従って素直に考えると自身の点数と, 全体の平均点数から自分の偏差値を求めるのは不可能です.

　流石にみんなの点数を聞いて回れるはずもありませんし.

 

　因みに最初に書いた「平均 { \displaystyle 50 } , 標準偏差 { \displaystyle 10 }」とは理論値のことを言ってますから, 実際のその試験の標準偏差が { \displaystyle 10 } になるということではありません.

 

 

おおよそなら分かる(かも)

　その代わり, その試験結果が正規分布に近いという仮定のもとであれば標準偏差はおおよそ決まってくるため自分の得点と平均だけでおよその偏差値が分かるかもしれません.

 

　というのももし標本が正規分布に従っているなら, 偏差値の理屈により標準偏差が { \displaystyle 10 } であろうことになるからです.

 

　実際の得点から計算するしかないのは変わりませんが, 正規分布に近い結果であれば概ね { \displaystyle \sigma\approx 13\sim16 } 辺りと思われます.

 

　従って「点数がピッタリ正規分布に従っている」という条件下では, 偏差値は以下となります.

 

{ \displaystyle S_i \approx \frac{10(x_i-\mu)}{10}+50 = x_i-\mu +50 }

 

　「自分自身を平均で引いて { \displaystyle 50 } を足す」ということですね, ピッタリ平均の人を考えればごく自然に見えます.

 

 

〆

　現実にはなかなかそう簡単には計算できません.

　人数が少なければちょっとした違いで大きくズレますし.

 

thetheorier