もう一人のY君

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【数学】指数、冪乗、累乗の違い

数学

数学 指数 冪 累乗

　今回はこの指数・累乗・べき乗(冪乗)の違いについてです.

　たまに混同してしまうんですよね.

 

 

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指数

　指数とは, 後述する累乗における, 右上添字のことを言います.

 

　例えば

 

{ \displaystyle x^2 }

{ \displaystyle a^{\log x} }

　

などの, 各々の { \displaystyle 2 } や { \displaystyle \log x } の部分を言います.

 

 

「指数」は色んな意味がある

　数学における指数は, その分野によってその「姿」は似ていますが若干定義が異なります.

 

　例えば次のようなものがあります

 

  • 冪根の指数：{ \displaystyle x^n=a } を満たす { \displaystyle n }
  • 初等整数論の合同式で用いられる指数

    blog.thetheorier.com

 

　数学の分野を外れれば, 他の色んな分野で「指標」の意味で指数という言葉がたくさん出てきますよね.

 

 

冪乗と累乗

　冪乗(べき乗)とは, 底 { \displaystyle a } と冪指数 { \displaystyle b } によって

 

{ \displaystyle a^b }

 

と表記されたものを言います.

 

　{ \displaystyle b } 部分のみであった指数に対してこちらは { \displaystyle a^b } 全体を指します.

 

　冪指数 { \displaystyle b } が自然数 { \displaystyle n } である場合に特別に累乗と呼び, { \displaystyle a^n } は { \displaystyle a } を { \displaystyle n } 回かけ合わせたものを言います.

 

{ \displaystyle a^n := \underbrace{a\times a\times\dots\times a}_{n個} }

 

 

　有理数冪の場合は指数法則 { \displaystyle a^{m+n}=a^m\times a^n } を自然に拡張することで得られることはよく知られていることです.

 

　冪と呼ぶ際, 底は自然数や整数に限らず実数や複素数, 集合や行列とその範囲は幅広いです.

 

 

3つの違い

 { \displaystyle \underbrace{a^{\overbrace{b}^{指数}}}_{冪乗,\,累乗(bは自然数)} }

 

大まかな違いは上のような感じですね.

 

 

thetheorier